证明：所有素数开方都是无理数

sqrt{3}是无理数​

反证法

假设\(\sqrt{3}\)是有理数。

根据有理数定义，存在\(m,n\in \mathbb{N^+}\),使得\(\sqrt{3}=\frac{m}{n},gcd(m,n)=1\)

其中m,n互质，即\(gcd(m,n)=1\)

将上述等式平方得到\(3n^2=m^2\)

由于3是素数，得到m是3的倍数，即假设\(m=3k,k\in \mathbb{N^+}\)

代入原先等式，\(3n^2=m^2=9k^2\),即\(n^2=3k^2\)

同样道理，得到n也是3的倍数，与gcd(m,n)=1矛盾。QED

任取素数开平方是无理数

\[ 证明\sqrt{x}是无理数，x为任意素数\\\\ 假设\sqrt{x}是有理数，存在m,n\in \mathbb{N^+}使得\sqrt{x}=\frac{m}{n},gcd(m,n)=1\\\\ \sqrt{x}n=m\\\\ \Rightarrow xn^2=m^2\\\\ \Rightarrow m为x的倍数，令m=xt\\\\ \Rightarrow n^2=xt^2\\\\ \Rightarrow n为x的倍数，则\sqrt{x}为无理数 \]